🔢 Carte Mentale - Suites Arithmético-Géométriques

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SUITES
ARITHMÉTICO-
GÉOMÉTRIQUES

📚 Définition

Forme générale et reconnaissance

🎯 Point Fixe

Calcul et signification

🔄 Suite Auxiliaire

Transformation en suite géométrique

📐 Formule Explicite

Expression de $u_n$ en fonction de $n$

✍️ Méthode de Résolution

Étapes complètes pas à pas

📊 Comportement & Convergence

Étude de la limite

✍️ Exercices Types

Exemples détaillés & corrigés

📚 Définition

Forme générale

$u_{n+1} = a \cdot u_n + b$

Avec :

  • $a \neq 1$ (sinon suite arithmétique)
  • $b \neq 0$ (sinon suite géométrique)
  • $u_0$ est le premier terme donné

🔍 Comment la reconnaître ?

  • La relation de récurrence contient à la fois un produit et une addition
  • Le terme suivant dépend du terme précédent : $u_{n+1}$ dépend de $u_n$
  • Les coefficients $a$ et $b$ sont des constantes

📝 Exemple 1

$u_{n+1} = 0.5 \cdot u_n + 3$ avec $u_0 = 2$

Ici : $a = 0.5$ et $b = 3$

C'est bien une suite arithmético-géométrique ✓

📝 Exemple 2

$u_{n+1} = 2u_n - 5$ avec $u_0 = 10$

Ici : $a = 2$ et $b = -5$

C'est une suite arithmético-géométrique ✓

⚠️ Cas particuliers

  • Si $a = 1$ : $u_{n+1} = u_n + b$ → Suite arithmétique de raison $b$
  • Si $b = 0$ : $u_{n+1} = a \cdot u_n$ → Suite géométrique de raison $a$

🎯 Point Fixe

Définition

Le point fixe $\ell$ (ell) est la valeur qui reste inchangée par la relation de récurrence.

$\ell = a \cdot \ell + b$

📐 Formule du point fixe

$\ell = \frac{b}{1 - a}$

Attention : Cette formule n'existe que si $a \neq 1$

🔍 Interprétation

  • Si la suite converge, elle converge vers $\ell$
  • $\ell$ est la limite de la suite (si elle existe)
  • C'est la valeur d'équilibre de la suite

📝 Exemple

Soit $u_{n+1} = 0.5 \cdot u_n + 3$

Étape 1 : Identifier $a$ et $b$
$a = 0.5$ et $b = 3$
Étape 2 : Calculer le point fixe
$\ell = \frac{b}{1-a} = \frac{3}{1-0.5} = \frac{3}{0.5} = 6$
Conclusion : Le point fixe est $\ell = 6$
Si la suite converge, elle converge vers 6.
💡 Astuce : Toujours calculer le point fixe en premier ! C'est la clé pour construire la suite auxiliaire.

🔄 Suite Auxiliaire

Principe

On introduit une nouvelle suite $(v_n)$ qui est géométrique !

$v_n = u_n - \ell$

✨ Propriété magique

Si $u_{n+1} = a \cdot u_n + b$ et $\ell = \frac{b}{1-a}$, alors :

$v_{n+1} = a \cdot v_n$

$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$ !

📐 Démonstration

On part de : $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell$
Or $u_{n+1} = a \cdot u_n + b$, donc :
$v_{n+1} = a \cdot u_n + b - \ell$
Or $\ell = a \cdot \ell + b$, donc $b = \ell - a \cdot \ell$
Donc : $v_{n+1} = a \cdot u_n + (\ell - a \cdot \ell) - \ell$
$v_{n+1} = a \cdot u_n - a \cdot \ell = a(u_n - \ell) = a \cdot v_n$ ✓

🎯 Formule de $(v_n)$

Puisque $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ :

$v_n = v_0 \cdot a^n$

Avec $v_0 = u_0 - \ell$

📝 Exemple

Soit $u_{n+1} = 0.5 \cdot u_n + 3$ avec $u_0 = 2$

Étape 1 : Calculer $\ell$
$\ell = \frac{3}{1-0.5} = 6$
Étape 2 : Définir $v_n$
$v_n = u_n - 6$
Étape 3 : Calculer $v_0$
$v_0 = u_0 - \ell = 2 - 6 = -4$
Étape 4 : Formule de $v_n$
$v_n = -4 \times (0.5)^n$

📐 Formule Explicite

Objectif

Exprimer directement $u_n$ en fonction de $n$ (sans calculer tous les termes précédents)

🎯 Formule générale

$u_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n + \ell$

Avec :

  • $u_0$ : premier terme
  • $\ell = \frac{b}{1-a}$ : point fixe
  • $a$ : coefficient multiplicatif

📊 Démonstration

On a : $v_n = u_n - \ell$ et $v_n = v_0 \cdot a^n$
Donc : $u_n - \ell = v_0 \cdot a^n$
Or $v_0 = u_0 - \ell$, donc :
$u_n - \ell = (u_0 - \ell) \cdot a^n$
Finalement : $u_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n + \ell$ ✓

📝 Exemple complet

Soit $u_{n+1} = 0.5 \cdot u_n + 3$ avec $u_0 = 2$

Étape 1 : Point fixe
$\ell = \frac{3}{1-0.5} = 6$
Étape 2 : Appliquer la formule
$u_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n + \ell$
$u_n = (2 - 6) \cdot (0.5)^n + 6$
$u_n = -4 \cdot (0.5)^n + 6$
Vérification :
$u_0 = -4 \cdot (0.5)^0 + 6 = -4 + 6 = 2$ ✓
$u_1 = -4 \cdot (0.5)^1 + 6 = -2 + 6 = 4$ ✓

💡 Applications

  • Calculer directement $u_{100}$ sans calculer $u_1, u_2, ..., u_{99}$
  • Étudier le comportement de la suite quand $n \to +\infty$
  • Comparer deux termes éloignés

✍️ Méthode de Résolution Complète

📋 Les 5 étapes à suivre

Étape 1 : Identifier $a$, $b$ et $u_0$

  • Écrire la relation sous la forme : $u_{n+1} = a \cdot u_n + b$
  • Repérer les valeurs de $a$ et $b$
  • Noter la valeur du premier terme $u_0$
💡 Vérifier que $a \neq 1$ et $b \neq 0$

Étape 2 : Calculer le point fixe $\ell$

$\ell = \frac{b}{1-a}$
  • Appliquer la formule directement
  • Simplifier au maximum

Étape 3 : Définir la suite auxiliaire $(v_n)$

$v_n = u_n - \ell$
  • Calculer $v_0 = u_0 - \ell$
  • $(v_n)$ est géométrique de raison $a$

Étape 4 : Exprimer $v_n$ en fonction de $n$

$v_n = v_0 \cdot a^n$
  • Utiliser la formule de la suite géométrique
  • Remplacer $v_0$ par sa valeur

Étape 5 : Revenir à $u_n$

$u_n = v_n + \ell$
  • Remplacer $v_n$ par son expression
  • Obtenir : $u_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n + \ell$

📝 Exercice type corrigé

Énoncé : On définit la suite $(u_n)$ par $u_{n+1} = 2u_n - 5$ avec $u_0 = 10$

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

Étape 1 : Identification
$a = 2$, $b = -5$, $u_0 = 10$
Étape 2 : Point fixe
$\ell = \frac{-5}{1-2} = \frac{-5}{-1} = 5$
Étape 3 : Suite auxiliaire
$v_n = u_n - 5$
$v_0 = u_0 - 5 = 10 - 5 = 5$
Étape 4 : Expression de $v_n$
$v_n = 5 \times 2^n$
Étape 5 : Expression de $u_n$
$u_n = v_n + 5 = 5 \times 2^n + 5 = 5(2^n + 1)$
Réponse finale : $u_n = 5 \times 2^n + 5$ ou $u_n = 5(2^n + 1)$

📊 Comportement & Convergence

Principe

Le comportement de $(u_n)$ dépend uniquement de la valeur de $|a|$ !

$u_n = (u_0 - \ell) \cdot a^n + \ell$

📐 Étude de la limite

Cas 1 : $|a| < 1$ (Convergence)

  • $\lim_{n \to +\infty} a^n = 0$
  • Donc : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$
  • La suite converge vers le point fixe
💡 Exemple : $a = 0.5$ → la suite converge vers $\ell$

Cas 2 : $|a| > 1$ (Divergence)

  • $\lim_{n \to +\infty} |a^n| = +\infty$
  • La suite diverge (sauf si $u_0 = \ell$)
💡 Exemple : $a = 2$ → la suite diverge vers $\pm\infty$

Cas 3 : $a = -1$

  • $(-1)^n$ alterne entre $-1$ et $+1$
  • La suite ne converge pas
  • Elle oscille entre deux valeurs

Cas 4 : $a = 1$

  • Ce n'est plus une suite arithmético-géométrique
  • C'est une suite arithmétique

🎯 Tableau récapitulatif

Valeur de $a$ Comportement Limite
$0 < |a| < 1$ Convergence $\ell$
$|a| > 1$ Divergence $\pm\infty$
$a = -1$ Oscillation Pas de limite
$a = 1$ Suite arithmétique Variable

📝 Exemple 1 : Convergence

$u_{n+1} = 0.5 \cdot u_n + 3$ avec $u_0 = 2$

$a = 0.5$, donc $|a| = 0.5 < 1$
Point fixe : $\ell = \frac{3}{1-0.5} = 6$
Conclusion : La suite converge vers $\ell = 6$

📝 Exemple 2 : Divergence

$u_{n+1} = 2u_n - 5$ avec $u_0 = 10$

$a = 2$, donc $|a| = 2 > 1$
Conclusion : La suite diverge vers $+\infty$
(car $u_0 - \ell = 10 - 5 = 5 > 0$)

✍️ Exercices Types

📝 Exercice 1 : Résolution Complète

Énoncé :

On définit la suite $(u_n)$ par : $u_{n+1} = 0.6 \cdot u_n + 8$ avec $u_0 = 5$

1) Montrer que la suite est arithmético-géométrique.

2) Calculer le point fixe $\ell$.

3) Définir la suite auxiliaire $(v_n)$ et montrer qu'elle est géométrique.

4) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

5) Calculer $u_{10}$ (arrondir à 0.01 près).

👉 Voir la solution complète

1) Vérification :

La relation $u_{n+1} = 0.6 \cdot u_n + 8$ est de la forme $u_{n+1} = a \cdot u_n + b$

  • $a = 0.6 \neq 1$ ✓
  • $b = 8 \neq 0$ ✓

C'est bien une suite arithmético-géométrique.

2) Point fixe :

$\ell = \frac{b}{1-a} = \frac{8}{1-0.6} = \frac{8}{0.4} = 20$

3) Suite auxiliaire :

On pose : $v_n = u_n - \ell = u_n - 20$

$v_{n+1} = u_{n+1} - 20$
$= 0.6 \cdot u_n + 8 - 20$
$= 0.6 \cdot u_n - 12$
$= 0.6(u_n - 20)$
$= 0.6 \cdot v_n$

Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $a = 0.6$ ✓

4) Expression de $u_n$ :

$v_0 = u_0 - \ell = 5 - 20 = -15$

$v_n = v_0 \times a^n = -15 \times (0.6)^n$

Comme $u_n = v_n + \ell$ :

$u_n = -15 \times (0.6)^n + 20$

5) Calcul de $u_{10}$ :

$u_{10} = -15 \times (0.6)^{10} + 20$
$(0.6)^{10} \approx 0.006047$
$u_{10} = -15 \times 0.006047 + 20 \approx -0.09 + 20 = 19.91$
$u_{10} \approx 19.91$

📝 Exercice 2 : Étude de Convergence

Énoncé :

Soit la suite $(u_n)$ définie par : $u_{n+1} = -0.8 \cdot u_n + 6$ avec $u_0 = 10$

1) Calculer le point fixe $\ell$.

2) La suite converge-t-elle ? Si oui, vers quelle valeur ?

3) Justifier rigoureusement.

👉 Voir la solution

1) Point fixe :

$\ell = \frac{b}{1-a} = \frac{6}{1-(-0.8)} = \frac{6}{1.8} = \frac{10}{3}$

2) Convergence :

On étudie la valeur de $|a|$ :

$|a| = |-0.8| = 0.8 < 1$

Comme $|a| < 1$, la suite converge vers le point fixe $\ell = \frac{10}{3}$.

3) Justification rigoureuse :

On a : $u_n = (u_0 - \ell) \times a^n + \ell$

Donc : $u_n = (10 - \frac{10}{3}) \times (-0.8)^n + \frac{10}{3}$

Soit : $u_n = \frac{20}{3} \times (-0.8)^n + \frac{10}{3}$

Quand $n \to +\infty$ :

  • $|a| = 0.8 < 1$ donc $(-0.8)^n \to 0$
  • Donc $\frac{20}{3} \times (-0.8)^n \to 0$

Par conséquent :

$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{10}{3} \approx 3.33$

Remarque : Même si $a$ est négatif, la suite converge car $|a| < 1$ !

📝 Exercice 3 : Démonstration par Récurrence

Énoncé :

Soit $(u_n)$ définie par : $u_{n+1} = 0.5 \cdot u_n + 4$ avec $u_0 = 0$

On admet que $u_n = 8 - 8 \times (0.5)^n$.

Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n < 8$

👉 Voir la solution

Propriété à démontrer :

$\mathcal{P}(n) : u_n < 8$

Initialisation ($n = 0$) :

$u_0 = 0 < 8$ ✓

La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité :

Supposons que $\mathcal{P}(n)$ est vraie : $u_n < 8$

Montrons que $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie : $u_{n+1} < 8$

On a : $u_{n+1} = 0.5 \cdot u_n + 4$
Par hypothèse de récurrence : $u_n < 8$
Donc : $0.5 \cdot u_n < 0.5 \times 8 = 4$
En ajoutant 4 des deux côtés :
$0.5 \cdot u_n + 4 < 4 + 4 = 8$
Donc : $u_{n+1} < 8$ ✓

Conclusion :

$\mathcal{P}(0)$ vraie et $\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$
Donc $\forall n \in \mathbb{N}, u_n < 8$

Interprétation : La suite reste toujours strictement inférieure à son point fixe $\ell = 8$ !

📝 Exercice 4 : Seuil

Énoncé :

Soit $(u_n)$ définie par : $u_{n+1} = 0.7 \cdot u_n + 6$ avec $u_0 = 2$

On admet que $u_n = 20 - 18 \times (0.7)^n$.

À partir de quel rang $n$ a-t-on : $u_n > 19$ ?

👉 Voir la solution

On cherche $n$ tel que :

$u_n > 19$

Résolution :

$20 - 18 \times (0.7)^n > 19$
$-18 \times (0.7)^n > -1$
$18 \times (0.7)^n < 1$ (on change le sens car on divise par $-1$)
$(0.7)^n < \frac{1}{18}$
$n \times \ln(0.7) < \ln\left(\frac{1}{18}\right)$
$n > \frac{\ln(\frac{1}{18})}{\ln(0.7)}$ (le sens change car $\ln(0.7) < 0$)

Calcul numérique :

$\ln(\frac{1}{18}) = \ln(1) - \ln(18) = -\ln(18) \approx -2.890$
$\ln(0.7) \approx -0.357$
$n > \frac{-2.890}{-0.357} \approx 8.10$

Conclusion :

À partir du rang $n = 9$, on a $u_n > 19$

Vérification :

  • $u_8 = 20 - 18 \times (0.7)^8 \approx 20 - 1.04 = 18.96 < 19$ ✓
  • $u_9 = 20 - 18 \times (0.7)^9 \approx 20 - 0.73 = 19.27 > 19$ ✓
💡 Méthodologie : Les 5 étapes (Identifier, Point fixe, Suite auxiliaire, Formule explicite, Convergence) sont systématiques !